Álxebra Lineal: Produto interno

En Álxebra Lineal, chamamos produto interno a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definición

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre un corpo ‘‘‘K’‘‘. En ‘‘‘V’‘‘, pódese definir a función binaria $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow K$ (denominada ‘‘‘produto interno’‘‘), que satisfai os seguintes axiomas:

$\langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}$

$\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle$

$\langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle$

Se $v\neq 0$, entón $\langle v,v\rangle$> $0$

en que ‘‘u’‘, ‘‘v’‘ e ‘‘w’‘ son vectores de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘λ’‘ é un elemento de ‘‘‘K’‘‘.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

$\langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle$

$\langle u,\lambda v\rangle ={\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle$

Se $v=0$, entón $\langle v,v\rangle =0$

Se $\langle v,v\rangle =0$, entón $v=0$

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ satisfai os axiomas do produto interno e defínese por:

$\langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

Se ‘‘f’‘ e ‘‘g’‘ son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

$\langle f,g\rangle =\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx$

Vetores ortogonais

Dise que dous vectores $u,v\in V$ son ‘‘‘ortogonais’‘‘ se $\langle u,v\rangle =0$.

Consecuencias:

Se $\langle u,v\rangle =0,\forall v\in V$, entón $u=0$

Se $\langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V$, entón $T=0$

Complemento ortogonal

Sexa $v\in V,v\neq 0$

Defínese o complemento ortogonal de ‘‘v’‘, $v^{\perp }$, como:

$v^{\perp }=\{v\}^{\perp }=\{u\in V|\langle u,v\rangle =0\}.$

Consecuencias:

$v^{\perp }$ é un subespazo vectorial de V

Sexa $W$ un subespazo vectorial de V, e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ unha base de $W$. $v\in W^{\perp }\iff v\in v_{i}^{\perp },i=1,\ldots ,n$

$(W^{\perp })^{\perp }=W$, W é subespazo de V.

Norma

Sexa ‘‘V’‘ un espazo vectorial sobre o corpo ‘‘K’‘, con produto interno. Defínese a ‘‘‘norma’‘‘ ou ‘‘‘lonxitude’‘‘ dun vector $v\in V$ como sendo o número ${\sqrt {\langle v,v\rangle }}$, que indicamos por $|v|$.

Consecuencias:

$|v|=0\Longleftrightarrow v=0$

Se $v\neq 0$, entón $|v|>0$

$|\lambda v|=|\lambda ||v|,\forall \lambda \in K,v\in V$

Se $\langle u,v\rangle =0$, entón $|u+v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}$ (Teorema de Pitágoras)

Proxeción ortogonal

Proxeción dun vector v na dirección dun vector u, en que u ≠ 0

Defínese ‘‘‘esa’‘‘ proxeción como sendo o vector

${\mbox{prox}}_{u}v={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle u,u\rangle }}\cdot u$

Proxeción dun vector ‘‘v’‘ sobre un subespazo vectorial ‘‘W’‘ de ‘‘V’‘

Sexa $W=[u_{1},u_{2}]$, en que $\{u_{1},u_{2}\}$ é unha base ortogonal de ‘‘W’‘.

${\mbox{prox}}_{W}v={\mbox{prox}}_{u_{1}}v+{\mbox{prox}}_{u_{2}}v$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Dados $u,v\in V$, entón $|\langle u,v\rangle |\leq |u|\cdot |v|$

Desigualdade triangular

$|u+v|\leq |u|+|v|,\forall u,v\in V$

Base ortogonal e ortonormal

Unha base $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ de V é dita ortonormal se $\langle v_{i},v_{x}\rangle =\delta ix$, en que

$\delta ix=1$, se i = x

$\delta ix=0$, se i ≠ x

A base é ortogonal se os vectores son ortogonais dous a dous.

Propiedade: ‘‘n’‘ vectores non-nulos e ortogonais dous a dous, nun espazo de dimensión ‘‘n’‘, son linearmente independentes.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Dada unha base $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ de V, podemos atopar, a partir desta base, unha base ortogonal $\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}$ de V.

$u_{i}=v_{i}-\sum _{k=1}^{i-1}{\frac {\langle v_{i},u_{k}\rangle }{\langle u_{k},u_{k}\rangle }}u_{k}$

Distancia entre dous vectores

Defínese a distancia entre dous vectores calquera, ‘‘u’‘ e ‘‘v’‘, como sendo $d(u,v)=|u-v|$

Unha función distancia ten as seguintes propiedades:

Fallou a conversión do código (descoñécese a función "\xe"): {\displaystyle d(u, v) \xe 0}

$\quad d(u,v)=0\Leftrightarrow u=v$

$d(u,v)=d(v,u)$

$d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)$

Tales propiedades poden ser facilmente verificadas pola definición de norma.

Mellor aproximación dun vector v de V por un vector de W, subespazo vectorial de V

Se $d(v,u)\leq d(v,u'),\forall u'\in W$, entón u é o vector de W que dá a aproximación máis adecuada de v por un vector de W.

Demostrase que $u=prox_{W}v$