Álxebra Lineal: Produto interno

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas


En Álxebra Lineal, chamamos produto interno a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definición editar

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre un corpo ‘‘‘K’‘‘. En ‘‘‘V’‘‘, pódese definir a función binaria   (denominada ‘‘‘produto interno’‘‘), que satisfai os seguintes axiomas:

 
 
 
Se  , entón  >  

en que ‘‘u’‘, ‘‘v’‘ e ‘‘w’‘ son vectores de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘λ’‘ é un elemento de ‘‘‘K’‘‘.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

 
 
Se  , entón  
Se  , entón  

Exemplos editar

O produto escalar sobre o espazo vectorial   satisfai os axiomas do produto interno e defínese por:

 

Se ‘‘f’‘ e ‘‘g’‘ son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

 

Vetores ortogonais editar

Dise que dous vectores   son ‘‘‘ortogonais’‘‘ se  .

Consecuencias:

Se  , entón  
Se  , entón  

Complemento ortogonal editar

Sexa  

Defínese o complemento ortogonal de ‘‘v’‘,  , como:

 

Consecuencias:

  é un subespazo vectorial de V
Sexa   un subespazo vectorial de V, e   unha base de  .  
 , W é subespazo de V.

Norma editar

Sexa ‘‘V’‘ un espazo vectorial sobre o corpo ‘‘K’‘, con produto interno. Defínese a ‘‘‘norma’‘‘ ou ‘‘‘lonxitude’‘‘ dun vector   como sendo o número  , que indicamos por  .

Consecuencias:

 
Se  , entón  
 
Se  , entón   (Teorema de Pitágoras)

Proxeción ortogonal editar

Proxeción dun vector v na dirección dun vector u, en que u ≠ 0 editar

Defínese ‘‘‘esa’‘‘ proxeción como sendo o vector

 

Proxeción dun vector ‘‘v’‘ sobre un subespazo vectorial ‘‘W’‘ de ‘‘V’‘ editar

Sexa  , en que   é unha base ortogonal de ‘‘W’‘.

 

Desigualdade de Cauchy-Schwarz editar

Dados  , entón  

Desigualdade triangular editar

 

Base ortogonal e ortonormal editar

Unha base   de V é dita ortonormal se  , en que

 , se i = x
 , se i ≠ x

A base é ortogonal se os vectores son ortogonais dous a dous.

Propiedade: ‘‘n’‘ vectores non-nulos e ortogonais dous a dous, nun espazo de dimensión ‘‘n’‘, son linearmente independentes.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt editar

Dada unha base   de V, podemos atopar, a partir desta base, unha base ortogonal   de V.

 

Distancia entre dous vectores editar

Defínese a distancia entre dous vectores calquera, ‘‘u’‘ e ‘‘v’‘, como sendo  

Unha función distancia ten as seguintes propiedades:

Fallou a conversión do código (descoñécese a función "\xe"): {\displaystyle d(u, v) \xe 0}
 
 
 

Tales propiedades poden ser facilmente verificadas pola definición de norma.

Mellor aproximación dun vector v de V por un vector de W, subespazo vectorial de V editar

Se  , entón u é o vector de W que dá a aproximación máis adecuada de v por un vector de W.

Demostrase que  

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas