Álxebra Lineal: Funcionais lineais

Funcionais Lineais

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función $f:V\rightarrow K$, onde V é un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, chámase funcional lineal se, $\forall u,v\in V$ e $\forall \lambda \in K$:

$f(u+v)=f(u)+f(v)$

$f(\lambda v)=\lambda f(v)$

‘‘‘Teorema da existencia e unicidade’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial de dimensión ‘‘n’‘ e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ é unha base de ‘‘‘V’‘‘, entón existe un único funcional ‘‘f’‘, tal que $f(v_{i})=\lambda _{i},i=1,2,\ldots ,n,\lambda _{i}\in K$

‘‘‘Teorema da base dual’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial, $\mathrm {din} V=n$ e $\beta =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{3}\}$ é unha base de V, entón existe unha única base $\beta ^{*}=\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}$ de $V^{*}$ tal que $f_{i}(v_{x})=\delta _{ix}$

‘‘‘Definicións’‘‘:

$\beta ^{*}$ chámase base dual de $\beta$

$V^{*}$ chámase espazo dual de V

‘‘‘Corolarios’‘‘:

$f=\sum f(v_{i})f_{i}$

$v=\sum f_{i}(v)v_{i}$

Teorema de representación dos funcionais lineares

Sexan ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, $\mathrm {din} V=n$, con produto interno, e $f:V\rightarrow K$ un funcional lineal. Entón existe un único vector $v_{o}\in V$, tal que $f(v)=\langle v,v_{o}\rangle$, $\forall v\in V$.

Demostrase aínda que $v_{o}=\sum {\overline {f(e_{i})}}e_{i}$

---++ Adxunta dun operador lineal

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial.

O operador adxunto, $T^{*}:V\rightarrow V$, dun determinado operador lineal $T:V\rightarrow V$ defínese pola igualdade:

$\langle T(u),v\rangle =\langle u,T^{*}(v)\rangle ,\quad \forall u,v\in V$

Demóstrase que todo operador lineal posúe un e apenas un operador adxunto correspondente.

A partir da definición, podemos obter as seguintes consecuencias:

$(S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}$

$(\lambda T)^{*}={\bar {\lambda }}T^{*}$

$(S\circ T)^{*}=T^{*}\circ S^{*}$

‘‘‘Proposición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, $\mathrm {din} V=n$, con produto interno. Sexa $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ unha base ortonormal de ‘‘‘V’‘‘. Entón $[T]_{\alpha }=(a_{ix})$, onde $a_{ix}=\langle T(e_{x}),e_{i}\rangle$

‘‘‘Corolario’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, $\mathrm {din} V=n$, con produto interno. Entón, para calquera base $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ ortonormal de ‘‘‘V’‘‘, temos que a matriz $[T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}$.