Álxebra Lineal: Operadores especiais

Operadores especiais

• Auto-adxunto ($T^{*}=T$)
• Unitario ($T^{*}=T^{-1}$)
• Normal ($T^{*}T=TT^{*}$)

Operador auto-adxunto

‘‘‘Definición’‘‘: $T:V\rightarrow V$ chámase auto-adxunto se $T^{*}=T$.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é auto-adxunta se ${\overline {A}}^{t}=A$.

• Se $K=R$, $[T]_{\alpha }$ chámase simétrica.
• Se $K=C$, $[T]_{\alpha }$ chámase hermitiana.

Os seguintes enunciados son útiles na proba de teoremas do operador auto-adxunto:

Se $\langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V$, entón $T=0$.

Se ‘‘‘V’‘‘ é complexo e $\langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V$, entón $T=0$.

‘‘‘Prove’‘‘:

• Se $T^{*}=T$ e $\langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V$, entón $T=0$.
• Sexa $T:V\rightarrow V$, con ‘‘‘V’‘‘ complexo. Entón $T^{*}=T\iff \langle T(v),v\rangle \in R$.

Operador unitario

‘‘‘Definición’‘‘: $T:V\rightarrow V$ chámase unitario se $T^{*}=T^{-1}$.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é unitaria se ${\overline {A}}^{t}=A^{-1}$

‘‘‘Demostración’‘‘:

• ‘‘‘T’‘‘ é unitario $\iff \langle T(u),T(v)\rangle =\langle u,v\rangle$ (‘‘‘T’‘‘ preserva o produto interno)
• ‘‘‘T’‘‘ é unitario $\iff |T(u)|=|u|$ (‘‘‘T’‘‘ preserva a norma)
• ‘‘‘T’‘‘ é unitario $\iff T^{-1}$ é unitario

Operador normal

‘‘‘Definición’‘‘: $T:V\rightarrow V$ chámase normal se $TT^{*}=T^{*}T$.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é normal se $AA^{*}=A^{*}A$

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Todo operador auto-adxunto é normal
• Todo operador unitario é normal

É importante salientar, aínda, que existen operadores normais que non son unitarios nin auto-adxuntos.

Subespazo invariante

‘‘‘Definición’‘‘: ‘‘‘W’‘‘, subespazo vectorial de ‘‘‘V’‘‘, é dito invariante baixo o operador $T:V\rightarrow V$, se $T(W)\subset W$. Dicimos tamén que ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante).

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante, entón $W^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T^{*}$-invariante.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón $T(W)=W$.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T^{-1}$-invariante e $T^{-1}(W)=W$.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T^{-1}$-invariante (ou $T^{*}$-invariante).
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón $W^{\perp }$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.