Álxebra Lineal: Formas bilineais e cuadráticas

Formas bilineares

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función ‘‘g’‘ do produto cartesiano $V\times V\rightarrow K$ (onde ‘‘V’‘ é un espazo vectorial de dimensión finita sobre o corpo ‘‘K’‘) é dita ‘‘‘bilinear’‘‘ se, $\forall u,v,w\in V,\lambda \in K$:

• $g(u+v,w)=g(u,w)+g(v,w)$
• $g(\lambda u,v)=\lambda g(u,v)$
• $g(u,v+w)=g(u,v)+g(v,w)$
• $g(u,\lambda v)=\lambda g(u,v)$

Exemplos

• Produto interno nun espazo vectorial real;
• $f:V\times V\rightarrow K$, tal que $f(u,v)=0,\forall u,v\in V$.

Contra-exemplos

• Produto interno nun espazo vectorial complexo;
• $f:V\times V\rightarrow K$, tal que $f(u,v)=3,\forall u,v\in V$;

Matriz asociada a unha forma bilinear

Sexan $g:V\times V\rightarrow K$ unha forma bilinear, e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ unha base de ‘‘V’‘. Sexan ‘‘X’‘ e ‘‘Y’‘ dous vectores de V, baixo a forma de matriz columna:

$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$

Entón:

$g(X,Y)=X^{t}AY\,$,

onde ‘‘A’‘ é a matriz asociada á forma bilinear ‘‘g’‘.

A matriz ‘‘A’‘ dáse por:

${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

onde $a_{ix}=f(v_{i},v_{x})\,$

Formas bilineares simétricas

Unha forma bilinear $g:V\times V\rightarrow K$ é dita ‘‘‘simétrica’‘‘ se $g(u,v)=g(v,u)$

‘‘‘Proposición’‘‘: $g:V\times V\rightarrow K$ é unha forma bilinear simétrica se, e soamente se, a matriz asociada á forma bilinear é simétrica en calquera base de ‘‘V’‘.

Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica $g:V\times V\rightarrow K$, definimos unha función $f:V\rightarrow K$, definida por $f(v)=g(v,v)$, chamada ‘‘‘forma cuadrática’‘‘ asociada á forma bilinear ‘‘g’‘.

Note que:

• $f(u+v)=f(u)+2g(u,v)+f(v)$
• $f(\lambda v)=\lambda ^{2}f(v)$

Fórmulas de polarización

As ‘‘‘fórmulas de polarización’‘‘ permiten que, dada a forma cuadrática ‘‘f’‘, se descubra a forma bilinear ‘‘g’‘ que a orixinou. Eis dúas desas fórmulas:

• $g(u,v)={\frac {1}{4}}\left(f(u+v)-f(u-v)\right)$
• $g(u,v)={\frac {1}{2}}\left(f(u+v)-f(u)-f(v)\right)$