Problemas de sistemas de ecuacións

Ecuacións sinxelas

Problema 1

Calcular o valor de $x$ que satisfai a seguinte ecuación:

$(x-6)^{3}-8=19$

Resolución:

1. Súmase 8 a cada membro da ecuación.

   $(x-6)^{3}-8+8=19+8$

   $(x-6)^{3}=27$

2. Extráese a raíz cúbica de cada membro.

   ${\sqrt[{3}]{(x-6)^{3}}}={\sqrt[{3}]{27}}$

   $x-6=3$

3. Súmase 6 a cada membro.

   $x=3+6$

Resultado:

$x=9$

Problema 2

Calcular o valor de $x$ que satisfai a seguinte ecuación:

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{5}}={\frac {1}{3}}$

Resolución:

1. Réstase ⅕ de cada membro da ecuación.

   ${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{5}}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}$

   ${\frac {1}{x}}={\frac {5}{15}}-{\frac {3}{15}}$

   ${\frac {1}{x}}={\frac {2}{15}}$

2. Multiplícase cada membro por $15x$.

   ${\frac {1\times 15x}{x}}={\frac {2\times 15x}{15}}$

   $15=2\times x$

   $15=2x$

3. Divídese cada membro entre 2.

   ${\frac {15}{2}}={\frac {2x}{2}}$

   ${\frac {15}{2}}=x$

Resultado:

$x={\frac {15}{2}}$

Proporcionalidade

Problema 3

A intensidade da luz procedente dun foco puntual varía inversamente co cadrado da distancia ao foco. Se a 5 m do foco a intensidade é 3,20 W/m², canta será a 6 m del?

Resolución:

1. A ecuación que expresa o feito de que a intensidade varía inversamente co cadrado da distancia pode escribirse como:

   $I={\frac {k}{r^{2}}}$

   Onde $k$ é unha certa constante de proporcionalidade.

2. Temos neste caso dúas ecuacións, nas que o único valor en común é $k$, e a incógnita a resolver é $I_{2}$ na segunda das ecuacións:

   $I_{1}={\frac {k}{r_{1}^{2}}}$

   $I_{2}={\frac {k}{r_{2}^{2}}}$

   Onde:

   • $I_{1}=3,20\ W/m^{2}$
   • $r_{1}=5\ m$
   • $r_{2}=6\ m$

3. Despéxase $k$ na primeira das ecuacións.

   $I\times r^{2}=k$

   $I_{1}\times r_{1}^{2}=k$

   $3,20\times 5^{2}=k$

   $3,20\times 25=k$

   $80=k$

4. Despéxase $I_{2}$ na segunda das ecuacións:

   $I_{2}\times r_{2}^{2}=k$

   $I_{2}\times 6^{2}=80$

   $I_{2}\times 36=80$

   $I_{2}={\frac {80}{36}}$

Resultado:

$I_{2}=2,{\bar {2}}\ W/m^{2}$

Ecuacións lineais

Problema 4

Calcule os valores de $x$ e $y$ que satisfán de maneira simultánea as dúas seguintes ecuacións:

$x+y=5$

$-{\frac {1}{2}}x+y=2$

Información:

A imaxe da dereita mostra as dúas ecuacións nun mesmo gráfico. No punto en que se cortan, os calores de $x$ e $y$ satisfán as dúas ecuacións ao mesmo tempo.

Pódense resolver dúas ecuacións simultáneas despexando primeiro nunha delas unha das variables en función da outra, e substituíndo logo o resultado na outra ecuación.

Resolución:

1. Despéxase $y$ na primeira das ecuacións:

   $y=-x+5$

2. Substitúese o valor de $y$ na segunda ecuación, e despéxase o valor de $x$:

   $-{\frac {1}{2}}x+(-x+5)=2$

   $-{\frac {1}{2}}x-x+5=2$

   $-{\frac {3}{2}}x=2-5$

   $-{\frac {3}{2}}x=-3$

   ${\frac {3}{2}}x=3$

   ${\frac {3x}{2}}={\frac {6}{2}}$

   $3x=6$

   $x={\frac {6}{3}}$

   $x=2$

3. Unha vez calculado o valor de $x$, substitúese $x$ polo seu valor real en calquera das dúas ecuacións para obter o valor de $y$:

   $2+y=5$

   $y=5-2$

   $y=3$

Resultado:

$x=2$

$y=3$