Logaritmos

Cando $y$ está relacionado con $x$ mediante a expresión $y=a^{x}$, dise que o número $x$ é o logaritmo de $y$ en base $a$ e escríbese:

$x=log_{a}\ y$

Se $y_{1}=a^{n}$ e $y_{2}=a^{m}$:

$y_{1}y_{2}=a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

$log_{a}\ y_{1}y_{2}=n+m=log_{a}\ y_{2}+log_{a}\ y_{1}$

Dedúcese por tanto que:

$log_{a}\ y^{n}=n\ log_{a}\ y$

Dado que $a^{1}=a$ e $a^{0}=1$:

$log_{a}\ a=1$

$log_{a}\ 1=0$

Existen dúas bases de uso común:

• Os logaritmos de base 10 denomínanse logaritmos comúns ou logaritmos decimais.
• Os logaritmos de base e denomínanse logaritmos naturais ou logaritmos neperianos.

Cando non se indica a base, enténdese que esta é 10. Por tanto, por exemplo, $log\ 100=log_{1}0\ 100=2$, xa que $100=10^{2}$.

Para os logaritmos naturais emprégase o símbolo $ln$. Por tanto:

$y=ln\ x$

implica:

$x=e^{y}$

Os logaritmos poden transformarse dunha base a outra. Por exemplo, se:

$z=log\ x$

entón:

$10^{z}=x$

Tomando logaritmos naturais de ambos os dous membros da ecuación anterior obtense:

$z\ ln\ 10=ln\ x$

ou ben:

$ln\ x=(ln\ 10)log\ x$